Минувший сезон Веремко провел в стане чемпиона Беларуси, сыграл 4 матча и пропустил 4 мяча.

Веремко воспитанник клубной СДЮШОР «Минска». Профессиональную карьеру начал в структуре минского «Динамо», выступая за "Динамо-Юни", "Динамо-2" и дубль "бело-голубых". Затем уехал в Украину, где несколько сезонов провел в харьковском "Арсенале". В 2006 голкипер вернулся в Беларусь и два года выступал за гродненский "Неман". В 2008 году перешел в БАТЭ. В сезоне 2010/11 вновь уехал в Украину, где играл за "Севастополь", затем три года провел в самарских "Крыльях Советов" (Россия). В сезоне 2014/15 выступал за "Уфу", в 2015/16 за греческий "Левадиакос". В 2016 году Веремко вернулся в БАТЭ. На счету голкипера пять титулов чемпиона Беларуси, два раза он выигрывал Суперкубок и один раз Кубок страны. В 2007, 2009 и 2010 годах становился лучшим вратарем чемпионата Беларуси.

Сергей Веремко выступал за национальную сборную Беларуси с 2008 по 2014 и провел за команду 26 игр.